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书籍名
「极限」を使いこなす 微积分?微分方程式?确率统计
判型など
244ページ、础5判
言语
日本语
発行年月日
2017年10月31日
ISBN コード
978-4-13-063903-3
出版社
东京大学出版会
出版社鲍搁尝
学内図书馆贷出状况（翱笔础颁）
英语版ページ指定
急速に変化する现代社会では、専门分野や文理を问わず、蓄积されたデータを数学を用いて操る能力が必要になります。一方で、现在の数学教育に目を向けると、大学で习う数学は高校までの数学よりも厳密な侧面があり、高校数学とは大きく异なるとも言われています。そのため、大学での数学に兴味を持ちにくい学生も少なからずいるようです。高校数学と大学数学のギャップを埋めるには、学んだ数学を実际の物理学、生命科学などの具体例に活用することで、その概念の有用性を十分に感じるプロセスが必要だと考えております。それによって、さらに厳密な思考の必要性にも触れ、新たなモチベーションも生まれることでしょう。
本书では、大学数学で「解析学」と呼ばれる分野の内容を扱っています。「解析学」は微积分を含めた极限や収束という概念を用いる分野で、身の回りの様々な现象を理解したり予测するための基础となっています。はじめに少ない前提と直感的な説明によって高校までの数学を復习し、その后実用的な问题を扱いながらその都度进んだ考え方を绍介する构成となっています。
第1講では、高校数学と大学数学どちらでも主要な単元となっている「微積分」を扱うことで、解析の基礎を高校数学の内容から身に着けます。第2講では「微分方程式」を扱います。世の中の法則を微分方程式で表し解くことは解析学の醍醐味の一つです。ここでは惑星の運動や神経細胞の電気活動などの実例を通して、現象から導かれた微分方程式がどのように振る舞うかを読み解く手法を身につけます。第3講では「確率統計」として中心極限定理や仮説検定、クイズ番組から生まれた問題 (モンティ?ホール問題) などを扱うことで、実際の確率統計の問題を考える上で、「測る」「極限をとる」という解析学の考え方をきちんと用いることが重要であることを身に着けます。第4講では基礎的な解析学教程の中で1-3講で扱ってこなかった偏微分や重積分の補強を念頭におきつつ、1-3講で扱った内容を組み合わせることで幅広い問題に対応できることを概観します。一般的な解析学の教科書では扱わない、疑似乱数を用いた面積 (積分) の計算方法などの話題も取り入れました。「そういう考え方もあるんだ!」と思って頂くことができれば幸いです。
実用面では人工知能についてやコンピュータを活用した计算法に関するコラムがあり、また付録では読后にギャップなく主要な解析学の入门书に进んでいくための情报を掲载しております。大学数学における讲义の副読本としても、また数学と私たちの生活を繋ぐ読み物としても活用していただけると思います。
(紹介文執筆者: 先端科学技术研究センター 准教授 小谷 潔 / 2020)
本の目次
基本的な记号と演算ルール
第1讲 极限をあやつる――微积分
1.1 数を入れると数が出てくる箱――関数
1.2 まがった线とまっすぐな线――微分と微分公式
1.3 面积を计算しよう――积分と积分公式
1.4 解析に役立つ「発散」と「波」の関数
1.5 「狈！」ってどのくらい大きいの？――スターリングの公式
コラム1 演算を表す记号の工夫について
第2讲 世の中の现象を読み解く――微分方程式
2.1 力学系の基础
2.2 コンピュータに式を解かせる――数値解法
2.3 力学系を図を使って理解するための基础知识
2.4 世の中の现象の根底には発散と波の関数――连続时间线形力学系は别虫辫(迟),肠辞蝉(迟),蝉颈苍(迟)
で答えが书ける
2.5 1変数非线形力学系――非线形力学系の分岐理论
2.6 2変数非线形力学系――神経细胞のしくみ
2.7 3変数非线形力学系――「流れ」の复雑さ
コラム2 ニューロン新生
補 講 次のステップに進むために――いくつかの積分公式
补讲1 部分积分?置换积分
补讲2 ガンマ関数とベータ関数
第3讲 ランダムさと秩序との间に――确率统计
3.1 确率的な现象とその评価手法
3.2 正规分布を使いこなそう
3.3 「独立」な事象とその扱い
3.4 神はサイコロを丁寧に振る!？――モーメント母関数から见た中心极限定理と大数の法则
3.5 标本による推定?検定のこころ
3.6 その差を信じてよいのか？――迟検定をやってみよう
3.7 最尤法――母集団の特徴をピンポイントで当てる
3.8 ビッグデータ时代の统计手法――ベイズ统计
コラム3 乱流はどのようにして起こる？
コラム4 ニューラルネットワーク
第4讲 だから世界は美しい――数学の法则は分野をこえる
4.1 かけ算とたし算をつなぐ――ネイピア数别と大きな数の扱い
4.2 指数関数と叁角関数をつなぐ――世界で最も美しい式别颈&辫颈;〔颈&辫颈;は别の肩に乗る〕＝-1
4.3 确率分布と円周率をつなぐ――ガンマ関数による&骋补尘尘补;(1/2)＝&谤补诲颈肠;&辫颈;
4.4 テイラー展开と数値解法をつなぐ――修正オイラー法
4.5 コンピュータで理想のランダムさに迫る――メルセンヌ?ツイスターと拟似乱数
4.6 ランダムさと积分をつなぐ――モンテカルロ法とビッグデータ解析
コラム5 叁角関数の数値计算――少しの记忆と，少しの计算と，大いなる创造力と
コラム6 コンピュータが得意なこと，苦手なこと
付 録
関连情报
高校生と大学生のための金曜特别讲座「微积分でよみとく脳?生命?社会」 (东京大学教养学部 2018年7月13日)
书评:
数セミメディアガイド：若狭徹 評『解析学「全部のせ」』を完食しよう (『数学セミナー』2019年3月号P84 2019年2月)
书籍绍介:
小谷潔「東大教師が新入生にすすめる本」 (东京大学出版会『UP』4月号 2018年6月)
